Множини чисел

1. Поняття числа.

2. Натуральні та цілі числа.

3. Раціональні числа.

4. Дійсні числа.

Список використаної літератури.

1. Поняття числа

Число — одне з фундаментальних математичних понять. Ще задовго до нашої ери люди у своїй практичній діяльності змушені були вдаватися до лічби навколишніх предметів, тобто відшукувати кількісні характеристики певних їх сукупностей. Так виникли натуральні числа, застосовувані для підрахунку будь-яких окремих об'єктів. Спочатку число пов'язувалося з підраховуваними об'єктами. Абстрактне поняття числа формувалося з розвитком писемності та введенням символів для позначення числа.

Поява дробових чисел зумовлювалася потребою виконувати вимірювання, застосовуючи одиницю, яка ціле число разів не вкладається у вимірюваній величині. Числа, які можна подати у вигляді дробу (відношення двох цілих чисел), назвали раціональними. Коли виникли дроби, невідомо, але дослідження показують, що вже стародавні єгиптяни, хорезмійці та китайці вміли виконувати найпростіші арифметичні дії з дробами.

Подальшому розвитку поняття числа сприяли як практична діяльність, так і потреби розвитку самої математики. Перші теоретичні відомості, що становлять учення про число, наведено в «Началах» Евкліда та «Арифметиці» Діофанта. Обидві праці датовані IIIст. до н. є.

Зауважимо, що в Київській Русі були поширені елементарні відомості про числа, зокрема дії з дробами. Збереглися рукописи математичного змісту, які свідчать, що знання з арифметики на Русі відповідали європейському рівню.

Виникнення від'ємних чисел пов'язане з розвитком алгебри як науки. Відомо, що індійські математики застосовували їх ще в VI—XIст. У європейській науці від'ємні числа починають використовувати після праць Р. Декарта (XVIIст.), котрий дав їм геометричне тлумачення.

З «непорівнянними» — несумірними відрізками, відношення яких не можна виразити раціональним числом, стикалися вже математики Стародавньої Греції, але вони не ввели ірраціональних чисел. Уперше до поняття ірраціонального числа прийшли вчені Ближнього та Середнього Сходу. На початку XIIIст. ірраціональні числа з'являються в західноєвропейських учених, найраніше в Леонарда Пізанського, але розглядаються вони лише з геометричного боку, як нерівноправні числа. Більшість математиків вважали, що ірраціональне число є корінь деякого степеня з цілого або дробового числа, який не може бути виражений точно.

Подальший розвиток числа припав на XVIIст., коли постала потреба дати чітке означення числа. Таке означення сформулював І. Ньютон у «Загальній арифметиці»: «Під числом ми розуміємо не стільки множину одиниць, скільки відношення деякої величини до іншої величини того самого роду, що й узята нами за одиницю». Це загальне означення дійсного числа — як раціонального, так і ірраціонального.

Згодом, у 70-х роках XIXст. теорію дійсного числа розвинули далі вчені Р. Дедекінд, Г. Кантор, К. Вейєрштрасс та інші.

Для запису натуральних чисел використовують символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. їх називають цифрами. Перша, друга, третя і т. д. цифри числа, якщо лічити справа наліво, називаються цифрами одиниць, десятків, сотень і т. д., або одиницями відповідних розрядів — розрядними одиницями. Десять одиниць будь-якого розряду становлять одну одиницю наступного. Отже, ми користуємося десятковою позиційною системою числення.

Десяткова система числення виникла в стародавні часи. Позиційною вона є тому, що значення кожної цифри в цій системі залежить від її позиції в запису числа. Люди почали використовувати цю систему числення, оскільки звикли лічити десятками (за кількістю пальців на руках). Проте деякі народи створили й недесяткові системи числення. Десяткові цифри виникли в Індії на початку нашої ери. В Європі вони стали відомі завдяки працям хорезмського математика Мухаммада ібн Муси, відомого як ал-Хорезмі. Вона була написана арабською мовою, і тому цифри називали арабськими. Пізніше, коли стало відомо, що ал-Хорезмі в основу нумерації поклав практику індійських обчислювачів, цифри почали називати індійськими.

Наступний етап у розвитку поняття числа — поява комплекснихчисел у процесі розв'язування квадратних рівнянь (наприклад, виду х1 + 1 = 0), які не мають дійсних коренів.

2. Натуральні та цілі числа

Означення. Множину натуральних чисел утворюють числа, використовувані для лічби:

1,2,3,4,5,6,7,....

У IIIст. до н. є. Архімед довів, що цей ряд чисел нескінченний. Множину натуральних чисел позначають, як відомо, літерою N. У цій множині введені дві дії: додавання та множення. Сума і добуток двох натуральних чисел є число натуральне. Наприклад, 5 + 6=11,2*5= 10 і т. п. Різниця натуральних чисел не завжди є натуральним числом. Наприклад, 3 - 10 не є натуральним числом. Для того щоб можна було віднімати будь-які натуральні числа, вводяться число нуль та від'ємні числа.

Число нуль визначають як нейтральний елемент множини чисел. Це означає, що додавання цього числа до будь-яких інших чисел не змінює їх. Число нуль позначають 0. Отже,

а + 0 = а,

де а — довільне число.

Цілим від'ємним числом - п, де п — натуральне число, називають таке число, для якого виконується тотожність:

(- п) + п = 0.

Натуральні числа, нуль та цілі від'ємні числа утворюють множину цілих чисел, яку позначають літерою Z.

Цілі числа можна зображати на прямій, узявши на ній за початок відліку точку О, або так звану нульову точку. Далі по обидва боки від точки О, якій відповідає 0, відкладають рівні відрізки, позначаючи їх кінці цифрами (рис. 1). Числа праворуч від 0 — додатні (зокрема, натуральні), ліворуч — від'ємні.

Таку пряму називають числовою прямою. Із двох чисел більшим вважається те, яке лежить далі праворуч на числовій осі.

Приклади:

l) -3 • 5 = - 15;

2) 63:(-7) = -9.

2. Множення та ділення двох чисел з однаковими знаками:

-a-*(-b)=a-*-b; - а: (-b) = a:b.

Приклади:

l)-3 * (- 10) = 3 * 10 = 30;

2) - 27 : (- 3) = 27 : 3 = 9.

3. Додавання двох чисел з однаковими знаками:

-a+ (-b) = -(a+b).

Приклад

-5 + (-6) = -(5 + 6) = -11.

4. Додавання двох чисел із різними знаками:

a>b=>-a+ b= -(а -b); а-а+b= b-а.

1)-5+ 10 = 5;

2) - 17 + 3 = - 14.

5. Віднімання двох чисел з однаковими знаками:

а>Ь=>-а- (-b) = -(а - b); a -a-(—b) =b — a.

1) - 13 - (- 8) = - (13 - 8) = - 5;

2)-20-(-45) = 45-20 = 25.

6. Віднімання двох чисел із різними знаками:

-а -(b) = -(а + Ь); a-(-b) = a+b.

Приклади:

1)-13-6 = -(13+ 6) = -19;

2) 40-(-65) = 40+ 65 = 105

Сума, різниця, добуток двох цілих чисел є ціле число. Проте частка двох цілих чисел не завжди є ціле число. Наприклад, частка 5 : 3 або -2 : 7 не є цілим числом. Щоб ділення цілих чисел виконувалося без обмежень, потрібно розширити поняття цілого числа, ввівши дробові числа.


3. Раціональні числа

Означення. Раціональним дробом називається вираз, де m— ціле, а n— натуральне число. Число т називається чисельником, а и — знаменником дробу. Якщо т <п — дріб називається правильним, а якщо т > п або т = п — неправильним.

Сума, добуток, різниця, частка двох дробів визначаються за правилом:

Означення. Раціональним числом називається множина всіх рівних між собою раціональних дробів, наприклад:

2 Це різні записи одного й того самого раціонального числа —.

З Цілі та дробові числа утворюють множину раціональних чисел

Раціональні числа також зображають на числовій осі (рис. 2).

Сума, різниця, добуток та частка двох раціональних чисел є раціональним числом.


4. Дійсні числа

Кожне раціональне число можна подати у вигляді десяткового скінченного або нескінченного періодичного дробу. Наприклад:

4/5 = 0,8; 5/33 = 0,151515... =0,(15).

І навпаки: кожному нескінченному періодичному дробу відповідає раціональне число. Але є числа, які не можна подати у вигляді скінченного або періодичного дробу.

Означення. Число, яке подається у вигляді нескінченного неперіодичного дробу, називається ірраціональним числом.

√2 — ірраціональне число.

• Розглянемо числа

1; 1,4; 1,414; 1,4142 і їх квадрати

1; 1,96; 1,9881; 1,999396; 1,99996164; а також числа

2; 1,5; 1,42; 1,4143; 1,41422 і їх квадрати

4; 2,25; 2,0164; 2,00225; 2,00024449. Очевидно,

12<2<22=>Н<√2<2;

1,42 < 2 < 1,52 => 1,4 < √2 < 1,5;

1,412 < 2 < 1,422 => 1,41 <√2 < 1,42;

1,4142 < 2 < 1,4152 => 1,414 < √2 < 1,415.

Числа 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... наближено подають число √2 .

• Проте ірраціональні числа утворюються не лише в результаті добування кореня. Наприклад, при порівнянні відрізка, узятого за одиницю, з будь-яким несумірним з ним відрізком дістаємо ірраціональне число. Несумірними відрізками є, скажімо, довжина будь-якого кола та його діаметр. Відношення довжини кола до діаметра дорівнює π= 3,1415926... .

Ірраціональним є також число e= 2,71828... — основа так званих натуральних логарифмів.

На противагу множині раціональних чисел множина ірраціональних чисел не є замкненою відносно дій додавання, віднімання, множення та ділення двох чисел.

Наприклад, числа

0,1010010001... і 0,0101101110... — ірраціональні, але їх сума 0,1010010001...

0,0101101110...

0,11111111111... = 0,(1) = 1/9 — число раціональне.

Сума, різниця, добуток та частка ірраціонального числа і числа раціонального є ірраціональне число. Отже, маючи одне ірраціональне число, за допомогою раціональних чисел можна побудувати множину ірраціональних чисел.

Означення. Множина раціональних чисел разом із множиною ірраціональних чисел утворюють множину дійсних чисел.

Зауваження. Математична строга теорія дійсних чисел була побудована Р. Дедекіндом та Г. Кантором на базі поняття розрізу множини раціональних чисел.

Дійсні числа, як і раціональні, можна зображати на числовій осі. Нехай дано числову вісь із початковою точкою О та одиничним відрізком ОА (рис. 3). Зобразимо на цій осі точку, що відповідає ірраціональному числу V2. Для цього на відрізку ОА побудуємо квадрат та його діагональ ОС = V2. Накреслимо коло радіусом ОС. Тоді точка К перетину дуги кола з віссю Ох відповідатиме числу

Кожному дійсному числу відповідає єдина точка на числовій осі, та навпаки.


Список використаної літератури

1. Валєєв К.Вища математика: Навчальний посібник: У 2-х частинах/ К.Г. Валєєв, І.А. Джалла-дова; М-во освіти і науки України, Київський нац. економічний ун-т . - К.: КНЕУ. – 2001. - Ч. 1. - 546 с.

2. Васильченко І. Вища математика для економістів (спеціальні розділи): Підручник/ Іван Васильченко,. - К.: Кондор, 2004. - 347 с.

3. Гладунський В. Вища математика й елементи логіки: означення, формули, приклади: Навчальний посібник/ Василь Гладунський,; М-во освіти і науки України, Науково-методичний центр вищої освіти, НБУ, ЛБІ. - Львів: Афіша, 2005. - 494 с.

4. Дюженкова Л. Вища математика: Приклади і задачі: Посібник/ Любов Дюженкова, Ольга Дюженкова, Геннадій Михалін,; Ред. Г. О. Михалін. - К.: Академія, 2002. - 622 с.

5. Клепко В. Ю. Вища математика в прикладах і задачах: Навчальний посібник/ В. Ю. Клепко, В. Л. Голець; М-во освіти і науки України, Київ. економ. ін-т менеджм. (екомен). - К.: Центр навчальної літератури, 2006. - 592 с.

6. Пак В. Вища математика: Підручник/ Вітольд Пак, Юрій Носенко,; Ред. О. Л. Грабець. - Донецьк: Сталкер, 2003. - 494 с.

7. Соколенко О. Вища математика: Підручник/ Олександр Соколенко,. - К.: Академія, 2002. – 430 с.

загрузка...
Top