Методи фінансових обчислень
Вступ.
Розділ 1. Теоретико-методологічні аспекти фінансових обчислень.
1.1. Сутність фінансових обчислень.
1.2. Поняття простих відсотків. Облік по простих відсотках. Математичний і банківський облік.
1.3. Поняття складних відсотків. Облік по складних відсотках. Облік інфляції у фінансово-економічних розрахунках.
Розділ 2. Елементарні фінансові розрахунки та застосування їх на практиці у банківській діяльності.
2.1. Застосування фінансових обчислень для аналізу фінансових показників.
2.2. Визначення механізмів нарощення простих і складних відсотків у банківській діяльності.
Розділ 3. Розвиток та вдосконалення роботи з фінансовими обчисленнями.
Висновки.
Список використаної літератури.
Вступ
Актуальність теми. В останні роки у зв'язку з поступовим становленням ринкових відносин в економіці України знову, через багато десятиліть, з'явилася потреба в поширенні кількісних методів оцінки фінансових операцій. Причини цього очевидні: поява реально самостійних підприємств, становлення ринку капіталу, корінна зміна сутності й ролі банківської системи. Багато рішень фінансового характеру недоцільно приймати лише на інтуїтивній основі; набагато більше якісні результати можуть бути досягнуті, якщо використаються формалізовані методи оцінки. Крім того, можна привести чимало ситуацій, коли оптимальне рішення, засноване лише на інтуїції, не може бути прийняте в принципі. У подібних ситуаціях саме й застосовуються методи фінансових обчислень, або, як їх ще називають, методи фінансової математики. Відповідну дисципліну починають викладати в багатьох вузах і коледжах. Математичні методи, використовувані у фінансовій математиці, досить різноманітні: від елементарному, доступних навіть школяреві, до дуже складних, потребуючі залучення професійних математиків.
Як професійна область діяльності, фінансові розрахунки досить бурхливо розвиваються в останні десятиліття у зв'язку з появою нових фінансових інструментів (опціони, ф'ючерси, свопи й ін.) і, більше того, нових напрямків діяльності, серед яких варто виділити, насамперед , фінансовий менеджмент і фінансовий аналіз. Професія фінансового менеджера як фахівця з керування фінансами господарюючого суб'єкта стає усе більше популярної й затребуваної з боку керівників компаній. Логіка тут досить очевидна, оскільки фінансові потоки в компанії являють собою, по суті, її кровоносну систему. Наскільки добре функціонує ця система, настільки й життєздатна компанія. Слід зазначити, що досить широко й коло, якщо так можна виразитися, потенційних здобувачів цього звання, у тому числі й серед діючих працівників апарата керування підприємств, до яких насамперед можна віднести значну частину працівників планово-економічної служби, фінансового відділу, бухгалтерії.
Фінансові обчислення з'явилися з виникненням товарно-грошових відносин, але в окрему галузь знання оформилися тільки в XІ ст.: вони називалися "комерційні обчислення" або "комерційна арифметика". Як затверджував російський математик, фінансист і бухгалтер Н.С. Лунський, комерційна математика споконвічно існувала під ім'ям "політичної арифметики", родоначальником якої є англійський економіст Вільям Петті, — батько політичної економії й родоначальник статистичної науки.
Швидкий економічний ріст країн в XІ ст. багато в чому був обумовлений поширенням комерційних знань. Зокрема, у Росії дії уряду привели до того, що до кінця XІ ст. з'явилися комерційні училища, торговельні школи, класи, курси, оскільки актуальність і важливість комерційного утворення не в кого не викликала сумніву, а основу комерційних наук становила комерційна арифметика, тому що саме вона спричиняється кожний торговельний акт, кожну фінансову операцію.
В області фінансових або комерційних обчислень працював цілий ряд російських учених: І.З. Бревдо, Р.Я. Вейцман, П.М. Гончаров, И.И. Кауфман, Н.С. Лунський, Б.Ф. Мелешевський і інші, які розвили теорію й практику "комерційної арифметики".
Мета роботиполягає в тому, щоб на основі доступної літератури проаналізувати та з’ясувати основні риси фінансових обчислень.
Для досягнення цієї мети у роботі вирішується ряд задач:
- визначити риси фінансових обчислень;
- охарактеризувати значення простих відсотків.;
- дослідити зв’язок складних відсотків;
- розглянути елементарні фінансові розрахунки та застосування їх на практиці у банківській діяльності.
Наукова новизнароботи полягає в тому, що на основі аналізу різнопланових джерел розглядається проблема методів фінансових обчислень.
Об’єктом дослідженняє основи та загальні риси фінансових обчислень.
Предметом дослідженнявиступає дослідження головних методів фінансових обчислень та їх значення
Розділ 1. Теоретико-методологічні аспекти фінансових обчислень
1.1. Сутність фінансових обчислень
Одним з найважливіших властивостей грошових потоків є їх розподіленність у часі. При аналізі щодо короткострокових періодів (до 1 року) в умовах стабільної економіки дана властивість робить відносно незначний вплив, яким часто зневажають. Визначаючи річний обсяг реалізації по підприємству, просто складають суми виторгу за кожний з місяців звітного року. Аналогічно надходять із усіма іншими грошовими потоками, що дозволяє оперувати їхніми підсумковими значеннями. Однак у випадку більше тривалих періодів або в умовах сильної інфляції виникає серйозна проблема забезпечення порівнянності даних. Та сама номінальна сума грошей, отримана підприємством з інтервалом в 1 і більше рік, у таких умовах буде мати для нього неоднакову цінність. Очевидно, що 1 млн. грн. на початку 1992 року був значно більше мільйона "зразка" 1993 і більше пізнього років. Як правило, у таких випадках роблять коректування звітних даних з урахуванням інфляції. Але проблема не зводиться тільки до обліку інфляції. Одним з основних принципів фінансового менеджменту є визнання тимчасової цінності грошей, тобто залежності їхньої реальної вартості від величини проміжку часу, що залишається до їхнього одержання або витрати. В економічній теорії дана властивість називається позитивною тимчасовою перевагою.
Поряд з інфляційним знецінюванням грошей існує ще як мінімум три найважливіші причини даного економічного феномена. По-перше, "сьогоднішні" гроші завжди будуть цінніше "завтрашніх" через ризик неотримання останніх, і цей ризик буде тим вище, чим більше проміжок часу, що відокремлює одержувача грошей від цього "завтра". По-друге, маючи у своєму розпорядженні грошові засоби "сьогодні", економічний суб'єкт може вкласти їх у яке-небудь дохідне підприємство й заробити прибуток, у той час як одержувач майбутніх грошей позбавлений цієї можливості. Розстаючись із грішми "сьогодні" на певний період часу (допустимо, даючи їх у борг на 1 місяць), власник не тільки піддає себе ризику їхнього неповернення, але й несе реальні економічні втрати у формі неодержаних доходів від інвестування. Крім того знижується його платоспроможність, тому що будь-які зобов'язання, одержувані їм замість грошей, мають більше низьку ліквідність, чим "живі" гроші. Тобто в кредитора зростає ризик втрати ліквідності, і це третя причина позитивної тимчасової переваги. Природно, більшість власників грошей не згодні безкоштовно приймати на себе настільки істотні додаткові ризики. Тому, надаючи кредит, вони встановлюють такі умови його повернення, які на їхню думку повністю відшкодують їм всі моральні й матеріальні незручності, що виникають у людини, що розстається (нехай навіть і тимчасово) із грошовими знаками.
Кількісною мірою величини цього відшкодування є процентна ставка. З її допомогою може бути визначена як майбутня вартість "сьогоднішніх" грошей (наприклад, якщо їх збираються позичити), так і дійсна (сучасна, поточна або наведена) вартість "завтрашніх" грошей — наприклад, тих, котрими обіцяють розплатитися через рік після поставки товарів або надання послуг. У першому випадку говорять про операції нарощення, тому майбутню вартість грошей часто називають нарощеною. У другому випадку виконується дисконтування або приведення майбутньої вартості до її сучасної величини (сучасний момент) — звідси термін дисконтована, наведена або поточна вартість. Операції нарощення грошей по процентній ставці більше прості й зрозумілі, тому що з ними доводиться зіштовхуватися досить часто беручи або даючи гроші в борг. Однак для фінансового менеджменту значно більше важливе значення має дисконтування грошових потоків, приведення їхньої майбутньої вартості до сучасного моменту часу для забезпечення порівнянності величини розподілених за часом платежів. У принципі, дисконтування — це нарощення "навпаки", однак для фінансових розрахунків важливі деталі, тому необхідно більш докладно розглянути як пряму, так і зворотне завдання процентних обчислень. Перш ніж розглядати їх стосовно до грошових потоків, варто засвоїти найбільш елементарні операції з одиничними сумами (разовими платежами)[3, c. 314-316].
Процентна ставка показує ступінь інтенсивності зміни вартості грошей у часі. Абсолютна величина цієї зміни називається відсотком, виміряється в грошових одиницях (наприклад, гривнях) і позначається І. Якщо позначити майбутню суму S, а сучасну (або первісну) P, то І = S — P. Процентна ставка і є відносною величиною, виміряється в десяткових дробах або %, і визначається розподілом відсотків на первісну суму:
Можна помітити, що формула розрахунку процентної ставки ідентична розрахунку статистичного показника "темп приросту". Дійсно, якщо абсолютна сума відсотка (І) являє собою приріст сучасної величини, то відношення цього приросту до найсучаснішої величини й буде темпом приросту першопочаткової суми. Нарощення первісної суми по процентній ставці називається декурсивним методом нарахування відсотків.
Крім процентної існує дисконтна ставка d (інша назва — ставка дисконту), величина якого визначається по формулі:
де D — сума дисконту.
Порівнюючи формули (2) і (3) можна помітити, що сума відсотків І й величина дисконту D визначаються однаковим образом — як різниця між майбутньою й сучасної вартостями. Однак, зміст, вкладений у ці терміни неоднаковий, якщо в першому випадку мова йде про приріст поточної вартості, свого роду "націнці", те в другому визначається зниження майбутньої вартості, "знижка" з її величини. (Dіskont у перекладі з німецького означає "знижка"). Не дивно, що основною областю застосування дисконтної ставки є дисконтування, процес, зворотний стосовно нарахування відсотків. Проте , іноді вона використається й для нарощення. У цьому випадку говорять про антисипативні відсотки.
За допомогою розглянутих вище ставок можуть нараховуватися як прості так і складні відсотки. При нарахуванні простих відсотків нарощення первісної суми відбувається в арифметичній прогресії, а при нарахуванні складних відсотків — у геометричній. Спочатку більш докладно розглянемо операції із простими відсотками[9, c. 44-46].
1.2. Поняття простих відсотків. Облік по простих відсотках. Математичний і банківський облік
Нарахування простих декурсивних і антисипативних відсотків виробляється по різних формулах:
де n — тривалість позички, обмірювана в літах.
Для спрощення обчислень другі співмножники у формулах (3) і (4) називаються множниками нарощення простих відсотків: (1 + nі) — множник нарощення декурсивних відсотків; 1 / (1 — nd) — множник нарощення антисипативних відсотків.
Наприклад, позичка в розмірі 1 млн. грн. видається строком на 0,5 року під 30% річних. У випадку декурсивних відсотків нарощена сума (Sі) буде дорівнює 1,15 млн. грн. (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сума нарахованих відсотків (І) — 0,15 млн. грн. (1,15 — 1). Якщо ж нараховувати відсотки по антисипативному методу, то нарощена величина (Sd) складе 1,176 млн. грн. (1 * (1 / (1 — 0,5 * 0,3), а сума відсотків (D) 0,176 млн. грн.. Нарощення по антисипативному методу завжди відбувається більше швидкими темпами, чим при використанні процентної ставки. Тому банки використають цей метод для нарахування відсотків по видаваним ними позичкам у періоди високої інфляції. Однак у нього є істотний недолік: як видно з формули (4), при n = 1 / d, знаменник дробу звертається в нуль і вираження губить зміст.
Взагалі, нарахування відсотків з використанням ставки, призначеної для виконання прямо протилежної операції — дисконтування — має відтінок якоїсь "неприродності" і іноді породжує плутанину (аналогічну тієї, котра може виникнути в роздрібного торговця, якщо він переплутає правила визначення знижок і націнок на свої товари). З позиції математики ніякої складності тут ні, перетворивши (1), (2) і (4), одержуємо:
Дотримуючи цієї умови, можна одержувати еквівалентні результати, нараховуючи відсотки як по формулі (3), так і по формулі (4).
Антисипативним методом нарахування відсотків звичайно користуються в чисто технічних цілях, зокрема, для визначення суми, дисконтування якої по заданим дисконтній ставці й строку, дасть шуканий результат.
Як правило, процентні ставки встановлюються в річному вирахуванні, тому вони називаються річними. Особливістю простих відсотків є те, що частота процесів нарощення протягом року не впливає на результат. Тобто немає ніякої різниці з 30% річних 1 раз у рік або нарахувати 2 рази по 15% річні. Проста ставка 30% річних при одному нарахуванні в році називається еквівалентній простій ставці 15% річних при нарахуванні 1 раз у півроку. Дана властивість пояснюється тим, що процес нарощення по простій процентній ставці являє собою арифметичну прогресію з першим членом a1 = P і різницею d = (P * і).
P, P + (P * і), P + 2 * (P * і), P + 3 * (P * і), …, P + (k — 1) * (P * і)
Нарощена сума S є ніщо інше як останній k-й член цієї прогресії (S = ak = P + n * P * і), строк позички n дорівнює k — 1. Тому, якщо збільшити n і одночасно пропорційно зменшити й, те величина кожного члена прогресії, у тому числі й останнього, залишиться незмінної[11, c. 119-121].
Однак тривалість позички (або іншої фінансової операції, пов'язаної з нарахуванням відсотків) n необов'язково повинна рівнятися року або цілому числу років. Навпроти, прості відсотки найчастіше використаються при короткострокових (тривалістю менш року) операціях. У цьому випадку виникає проблема визначення тривалості позички й тривалості року в днях. Якщо позначити тривалість року в днях буквою K (цей показник називається тимчасова база), а кількість днів користування позичкою t, то використане у формулах (3) і (4) позначення кількості повного років n можна буде виразити як t/K. Підставивши це вираження в (3) і (4), одержимо:
У різних випадках можуть застосовуватися різні способи підрахунку числа днів у році (угода по підрахунку днів). Рік може прийматися рівним 365 або 360 дням (12 повних місяців по 30 днів у кожному). Проблема збільшується наявністю високосного років. Наприклад, позначення ACT/360 (actual over 360) указує на те, що тривалість року приймається рівної 360 дням. Однак виникає питання, а як при цьому визначається тривалість позички? Наприклад, якщо кредит видається 10 березня зі строком повернення 17 червня цього ж року, як уважати його тривалість — по календарі або виходячи із припущення, що будь-який місяць дорівнює 30 дням? Безумовно, у кожному конкретному випадку може бути обраний свій оригінальний спосіб підрахунку числа днів, однак на практиці вироблені деякі загальні принципи, знання яких може допомогти зорієнтуватися в будь-якій конкретній ситуації.
Якщо тимчасова база (K) приймається рівної 365 (366) дням, то відсотки називаються точними. Якщо тимчасова база дорівнює 360 дням, то говорять про комерційні або звичайні відсотки. У свою чергу підрахунок тривалості позички може бути або наближеним, коли виходять із тривалості року в 360 днів, або точним — по календарі або по спеціальній таблиці номерів днів у році. Визначаючи наближену тривалість позички, спочатку підраховують число повних місяців і множать його на 30. Потім додають число днів у неповних місяцях. Загальним для всіх способів підрахунку є правило: день видачі й день повернення кредиту вважаються за 1 день (назвемо його граничний день). У наведеному вище умовному прикладі точна тривалість позички складе по календарі 99 днів (21 день у березні + 30 днів у квітні + 31 день у травні + 16 днів у червні + 1 граничний день). Той же результат буде отриманий, якщо використати таблицю номерів днів у році (10 березня має порядковий номер 69, а 17 червня — 168). Якщо ж використати наближений спосіб підрахунку, то тривалість позички складе 98 днів (21 + 2 * 30 + 16 + 1).
Найбільше часто зустрічаються наступні комбінації тимчасової бази й тривалості позички (цифри в дужках позначають відповідно величину t і K):
Точні відсотки з точним числом днів (365/365).
Звичайні (комерційні) відсотки з точною тривалістю позички (365/360).
Звичайні (комерційні) відсотки з наближеною тривалістю позички (360/360).
Розходження в способах підрахунку днів можуть здатися несуттєвими, однак при більших сумах операцій і високих процентних ставок вони досягають досить пристойних розмірів. Припустимо, що позичка в розмірі 10 млн. грн. видана 1 травня з поверненням 31 грудня цього року під 45% річних (проста процентна ставка). Визначимо нарощену суму цього кредиту по кожному із трьох способів. Табличне значення точної тривалості позички дорівнює 244 дня (365 — 121); наближена тривалість — 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).
10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. грн.
10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. грн.
10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. грн.
Різниця між найбільшою й найменшою величинами (13,05 — 13,008) означає, що боржник буде змушений заплатити додатково 42 тис. грн. тільки за те, що погодився (або не звернув уваги) на застосування 2 способи нарахування відсотків.
Зворотним завданням стосовно нарахування відсотків є розрахунок сучасної вартості майбутніх грошових надходжень (платежів) або дисконтування. У ході дисконтування по відомій майбутній вартості S і заданим значенням процентної (облікової) ставки й тривалості операції перебуває первісна (сучасна, наведена або поточна) вартість P. Залежно від того, яка саме ставка — проста процентна або проста облікова — застосовується для дисконтування, розрізняють два його види: математичне дисконтування й банківський облік.
Метод банківського обліку одержав свою назву від однойменної фінансової операції, у ході якої комерційний банк викуповує у власника (ураховує) простий або перекладний вексель за ціною нижче номіналу до витікання зазначеного на цьому документі строку його погашення. Різниця між номіналом і викупною ціною утворить прибуток банку від цієї операції й називається дисконт (D). Для визначення розміру викупної ціни (а отже, і суми дисконту) застосовується дисконтирование по методу банківського обліку. При цьому використається проста дисконтна ставка d. Викупна ціна (сучасна вартість) векселя визначається по формулі:
де t — строк, що залишається до погашення векселя, у днях. Другий співмножник цього вираження (1 — (t / k ) * d) називається дисконтним множником банківського обліку по простих відсотках. Як правило, при банківському обліку застосовуються звичайні відсотки з точною тривалістю позички (2 варіант). Наприклад, власник векселя номіналом 25 тис. грн. звернувся в банк із пропозицією врахувати його за 60 днів до настання строку погашення. Банк згодний виконати цю операцію по простій дисконтній ставці 35% річних . Викупна ціна векселя складе:
P = 25000 * (1 — 60/360 * 0,35) = 23541,7 руб.,
а сума дисконту буде дорівнює
D = S — P = 25000 — 23541,7 = 1458,3 руб.
При математичному дисконтування використається проста процентна ставка й. Розрахунки виконуються по формулі:
Вираження 1 / (1 + (t / k) * і) називається дисконтним множником математичного дисконтування по простих відсотках[12, c. 87-91].
Цей метод застосовується у всіх іншим (крім банківського обліку) випадках, коли виникає необхідність визначити сучасну величину суми грошей, що буде отримана в майбутньому. Наприклад, покупець зобов'язується оплатити постачальникові вартість закуплених товарів через 90 днів після з у сумі 1 млн. грн.. Рівень простої процентної ставки становить 30% річних (звичайні відсотки). Отже поточна вартість товарів буде дорівнює:
P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. грн.
Застосувавши до цих умов метод банківського обліку, одержимо:
P = 1 * (1 — 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. грн.
Другий варіант виявляється більше вигідним для кредитора. Варто пам'ятати, що якихось твердих вимог вибору того або іншого методу виконання фінансових розрахунків не існує. Ніхто не може заборонити учасникам фінансової операції вибрати в даній ситуації метод математичного дисконтування або банківського обліку. Існує, мабуть, єдина закономірність — банками, як правило, вибирається метод, більше вигідний для кредитора (інвестора).
Основною областю застосування простих процентної й дисконтної ставок є короткострокові фінансові операції, тривалість яких менш 1 року. Обчислення із простими ставками не враховують можливість реінвестування нарахованих відсотків, тому що нарощення й дисконтування виробляються щодо незмінної вихідної суми P або S. На відміну від них складні з відсотків ураховують можливість реінвестування відсотків, тому що в цьому випадку нарощення виробляється по формулі не арифметичної, а геометричної прогресії, першим членом якої є початкова сума P, а знаменник дорівнює (1 + і).
P, P * (1 + і), P * (1 + і)2, P * (1 + і)3 , …, P * (1 + і)n,
де число років позички n менше числа членів прогресії k на 1 (n = k — 1).
Нарощена вартість (останній член прогресії) з по формулі:
де (1 + і) n — множник нарощення декурсивних складних відсотків[5, c. 59-61].
1.3. Поняття складних відсотків. Облік по складних відсотках. Облік інфляції у фінансово-економічних розрахунках
З позицій фінансового менеджменту використання складних відсотків є більше кращим, тому що визнання можливості власника в будь-який момент інвестувати свої засоби з метою одержання доходу є наріжним каменем всієї фінансової теорії. При використанні простих відсотків ця можливість часто не враховується, тому результати обчислень виходять менш коректними. Проте при короткострокових фінансових операціях як і раніше широко застосовуються обчислення простих відсотків. Деякі математики вважають це прикрим пережитком, що залишився з тих пор, коли у фінансистів не було під рукою калькуляторів і вони були змушені прибігати до більше простих, хоча й менш точним способам розрахунку. Представляється можливим і трохи інше пояснення даного факту. При тривалості операцій менш 1 року (n < 1) нарахування простих відсотків забезпечує одержання результатів навіть більше вигідних для кредитора, чим використання складних відсотків. Вище вже відзначалася закономірність вибору банками саме таких, більше вигідних для кредитора способів. Тому було б наївно недооцінювати обчислювальні потужності сучасних банків і інтелектуальний потенціал їхніх співробітників, думаючи, що вони використають грубі методи розрахунків тільки через їхню низьку трудомісткість. Важко уявити собі банкіра, хоча б на секунду забуваю чого про власну вигоду.
Сама по собі складна процентна ставка й нічим не відрізняється від простій і розраховується по такій же формулі (1). Складна дисконтна ставка визначається по формулі (2). Так само як і у випадку простих відсотків можливе застосування складної дисконтної ставки для нарахування відсотків (антисипативний метод):
де 1 / (1 — d)^n — множник нарощення складних антисипативних відсотків.
Однак практичне застосування такого способу нарощення відсотків досить обмежене й він ставиться скоріше до розряду фінансової екзотики.
Як ми вже відзначали, найбільше широко складні відсотки застосовуються при аналізі довгострокових фінансових операцій (n > 1). На великому проміжку часу повною мірою проявляється ефект реінвестування, нарахування "відсотків на відсотки". У зв'язку із цим питання виміру тривалості операції й тривалості року в днях у випадку складних відсотків коштує менш гостро. Як правило, неповна кількість років виражають дробовим числом через кількість місяців (3/12 або 7/12), не вдаючись у більше точні підрахунки днів. Тому у формулі нарахування складних відсотків число років практично завжди позначається буквою n, а не вираженням t/K, як це прийнято для простих відсотків. Найбільш педантичні кредитори, беручи до уваги більшу ефективність простих відсотків на коротких відрізках часу, використають змішаний порядок нарахування відсотків у випадку, коли строк операції (позички) не дорівнює цілому числу років: складні відсотки нараховуються на період, обмірюваний цілими роками, а відсотки за дробову частину строку нараховуються по простій процентній ставці.
де a — число повного років у складі тривалості операції,
t — число днів у відрізку часу, що доводиться на неповний рік,
K годин — тимчасова база.
У цьому випадку знову виникає необхідність виконання календарних обчислень за розглянутими вище правилами. Наприклад, позичка в 3 млн. грн. видається 1 січня 1997 року по 30 вересня 1999 року під 28% річних (процентна ставка). У випадку нарахування складних відсотків за весь строк користування грішми нарощена сума складе:
S = 3 * (1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. грн.
Якщо ж використати змішаний спосіб (наприклад, комерційні відсотки з точним числом днів), то одержимо:
S = 3 * (1 + 0,28)^2 * (1 + 272 / 360 * 0,28) = 6 млн. грн.
Таким чином, педантичність кредитора в цьому випадку виявилася зовсім не зайвої й була нагороджена додатковим доходом у сумі 85 тис. грн.[8, c. 66-69].
Важливою особливістю складних відсотків є залежність кінцевого результату від кількості нарахувань протягом року. Тут знову позначається вплив реінвестування нарахованих відсотків: база нарахування зростає з кожним новим нарахуванням, а не залишається незмінної, як у випадку простих відсотків. Наприклад, якщо нараховувати 20% річних 1 раз у рік, те первісна сума в 1 тис. грн. зросте під кінець року до 1,2 тис. грн. (1 * (1+ 0,2)). Якщо ж нараховувати по 10% кожні півроку, то майбутня вартість складе 1,21 тис. грн. (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальному нарахуванні по 5% вона зросте до 1,216 тис. грн.. У міру збільшення числа нарахувань (m) і тривалості операції ця різниця буде дуже сильно збільшуватися. Якщо розділити суму нарахованих відсотків при щоквартальному нарощенні на первісну суму, то вийде 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%. Отже складна ставка 20% при однократному нарощенні й 20% (чотири рази по 5%) при поквартальному нарощенні приводять до різних результатів, тобто вони не є еквівалентними. Цифра 20% відбиває вже не дійсну (ефективну), а номінальну ставку. Ефективною процентною ставкою є значення 21,6%. У фінансових розрахунках номінальну складну процентну ставку прийнято позначати буквою j. Формула нарощення по складних відсотках при нарахуванні їх m раз у році має вигляд:
У міру збільшення числа нарахувань відсотків протягом року (m) проміжок часу між двома суміжними нарахуваннями зменшується — при m = 1 цей проміжок дорівнює 1 року, а при m = 12 — тільки 1 місяцю. Теоретично можна представити ситуацію, коли нарахування складних відсотків виробляється настільки часто, що загальне його число в році прагне до нескінченості, тоді величина проміжку між окремими нарахуваннями буде наближатися до нуля, тобто нарахування стане практично безперервним. Така на перший погляд гіпотетична ситуація має важливе значення для фінансів і при побудові складних аналітичних моделей (наприклад при розробці масштабних інвестиційних проектів) часто застосовують безперервні відсотки. Безперервна процентна ставка (очевидно, що при безперервному нарахуванні мова може йти тільки про складні відсотки) позначається буквою δ (читається "дельта"), часто цей показник називають "сила росту". Формула нарощення по безперервній процентній ставці має вигляд:
, (19)
де e — підстава натурального логарифма ( ~2,71828…),
edn — множник нарощення безперервних відсотків.
Наприклад, чому буде дорівнює через 3 роки сума 250 тис. грн., якщо сьогодні покласти неї на банківський депозит під 15% річних, що нараховують безупинно?
S = 250 * e^(0,15 * 3) = 392,1 тис. грн..
Для безперервних відсотків не існує розходжень між процентною й дисконтною ставками — сила росту є універсальним показником. Однак, поряд з постійною силою росту може використатися змінна процентна ставка, величина якої міняється за заданим законом (математичної функції). У цьому випадку можна будувати дуже потужні імітаційні моделі, однак математичний апарат розрахунку таких моделей досить складний і не розглядається в дійсному посібнику, так само як і нарахування відсотків по змінній безперервній процентній ставці. Безперервне дисконтування з використанням постійної сили росту виконується по формулі:
, (20)
де 1 / edn — дисконтний множник дисконтування по силі росту[6,c.9-12].
Наприклад, у результаті здійснення інвестиційного проекту планується одержати через 2 роки доход у розмірі 15 млн. грн.. Чому буде дорівнює наведена вартість цих грошей у сьогоднішніх умовах, якщо сила росту становить 22% річних?
P = 15 / e^(0,22 * 2) = 9,66 млн. грн.
Розділ 2. Елементарні фінансові розрахунки та застосування їх на практиці у банківській діяльності
2.1. Застосування фінансових обчислень для аналізу фінансових показників
У попередньому розділі були викладені основні принципи застосування процентних обчислень у практичних фінансових розрахунках. Наведені в цьому розділі приклади відносилися до банківської діяльності, тому що в цій сфері механізм їхньої дії найбільш наочний і зрозумілий. Однак, сфера використання фінансових обчислень значно ширше, ніж розрахунок параметрів банківських кредитів. Гарне володіння основами фінансової математики дозволяє порівнювати між собою ефективність окремих операцій і обґрунтовувати найбільш оптимальні управлінські рішення. Для аналізу фінансових показників у цей час застосуються самі витончені математичні методи. Наявність докторського ступеня по математиці поки не є обов'язковою вимогою для фінансового менеджера більшості підприємств, однак знання елементарних властивостей фінансових показників і основних взаємозв'язків між ними буде йому необхідні починаючи з першого дня практичної роботи.
Більшу допомогу фінансистові роблять спеціальні комп'ютерні програми, а також фінансові калькулятори, що дозволяють автоматизувати обчислення багатьох показників. Широке поширення одержало використання фінансових таблиць для нарахування складних відсотків і дисконтування. У цих таблицях приводяться значення множників нарощення (дисконтних множників) для заданих n та і. Для знаходження нарощеної вартості досить помножити відому первісну суму на табличне значення множника нарощення. Аналогічно можна знайти наведену величину майбутніх грошей, множачи їхню суму на дисконтний множник з таблиці. Розглянемо деякі інші елементарні способи використання результатів фінансових обчислень.
В умовах нестабільної економіки банки й інші кредитори з метою зниження свого процентного ризику можуть установлювати змінні ставки відсотків для різних фінансових операцій. Наприклад, по позичці в розмірі 2 млн. грн. загальною тривалістю 120 днів протягом перших двох місяців будуть нараховуватися 30% річних, а починаючи з 61 дня щомісяця проста процентна ставка буде збільшуватися на 5% (звичайні відсотки). Фактично, позичка розбивається на трохи складових, по кожною з яких установлені свої умови. Необхідно знайти нарощені суми по кожній зі складових, а потім скласти їх. Згадаємо, що аналогом процентної ставки в статистику є показник "темп приросту". При нарахуванні простих відсотків варто говорити про базисні темпи приросту, тому що першочергова сума P залишається незмінної. Дане завдання в статистичних термінах можуть бути інтерпретовані як додавання базисних темпів приросту з наступним множенням на первісну суму позики. Загальна формула розрахунку буде мати такий вигляд:
де N загальне число періодів, протягом яких відсотки нараховуються по незмінній ставці. Підставивши в це вираження умови нашого приклада, одержимо:
S = 2 * (1 + (60/ 360 * 0,3) + (30/ 360 * 0,35) + (30/ 360 * 0,4)) = 2,225 млн. грн.
Відповідно для складних відсотків, мова йтиме вже не про базисний, а про ланцюгові темпи приросту, які повинні не складатися, а перемножуватися:
Підставивши умови приклада, одержимо:
S = 2 * (1 + 0,3)60/360 * (1 + 0,35)30/360 * (1 + 0,4)30/360 = 2,203 млн. грн.
Дане завдання можна вирішити трохи іншим шляхом — розрахувавши спочатку середні процентні ставки. Розрахунок середніх процентних ставок (або розрахунок середніх доходностей) взагалі дуже розповсюджена у фінансах операція. Для її виконання корисно знову згадати про математико-статистичну природу процентних ставок. Тому що нарахування простих відсотків відбувається в арифметичній прогресії, середня проста ставка розраховується як середня арифметична зважена.
де N — загальне число періодів, протягом яких процентна ставка залишалася незмінною[4, c. 367-369]
Складні відсотки ростуть у геометричній прогресії, тому середня складна процентна ставка розраховується як середня геометрична зважена. Як ваги в обох випадках використаються тривалості періодів, для яких діяла фіксована ставка.
Снову використаємо дані нашого приклада. У випадку нарахування простих відсотків одержимо:
іпр = ((0,3 * 60) + (0,35 * 30) + (0,4 * 30)) / 120 = 0,3375 = 33,75%
S = 2 * (1 + 0,3375 * 120 / 360) = 2,225 млн. грн.
Тобто середня процентна ставка склала 33,75% і нарахування відсотків по цій ставці за весь строк позички дає такий же результат, як і той, що був отриманий по формулі (1). Для складних відсотків вираження прийме вид:
ісл = ((1 + 0,3)60 * (1 + 0,35)30 * (1 + 0,4)30)1/120 — 1 = 0,33686 = 33,69%
S = 2 * (1 + 0,33686)120/360 = 2,203 млн. грн.
Нарахування відсотків по середній процентній ставці 33,69% також дає результат, еквівалентний тому, що був отриманий по формулі (2).
2.2. Визначення механізмів нарощення простих і складних відсотків у банківській діяльності
Розуміння розходжень механізмів нарощення простих і складних відсотків допомагає уникати досить розповсюджених помилок. Наприклад, варто пам'ятати, що такий процес як інфляція розвивається в геометричної, а не в арифметичної прогресії, тобто до нього повинні застосовуватися правила нарахування складних, а не простих відсотків. Темпи приросту цін у цьому випадку є ланцюговими, а не базисними, тому що в кожному наступному місяці ріст цін ставиться до попереднього місяця, а не на початок року або якій-небудь інший незмінній базі. Наприклад, якщо інфляція в січні склала 5%, у лютому 4%, а в березні 9%, те загальна інфляція за квартал буде дорівнює не 18% (сума місячних показників), а 19,03% (1,05 * 1,04 * 1,09 — 1). Середньомісячний рівень інфляції за цей квартал складе (1,05 * 1,04 * 1,09)1/3 — 1 = 5,98%. З іншого боку, якщо оголошується, що середньомісячна інфляція за рік склала 5,98%, те це не виходить, що загальна інфляція за рік в 12 разів більше (71,76%). Насправді річна інфляція в цьому випадку складе понад 100,7% (1,059812 — 1).
У попередньому розділі зверталася увага на складності, що виникають при спробі зрозуміти зміст антисипативного нарахування відсотків. Розглянемо ситуацію, у якій необхідно вдатися саме до цього способу. Наприклад, комерсант пропонує замість оплати наявними виписати на вартість закуплених матеріалів вексель у сумі 500 тис. грн. зі строком оплати через 90 днів, що може бути врахований у банку по простою дисконтною ставкою 25% річних (комерційні відсотки з точним числом днів позички). Для визначення суми, що знадобиться проставити в цьому векселі йому необхідно нарахувати відсотки на вартість товарів, використовуючи антисипативний метод. Сума векселя складе 533,333 тис. грн. (500 * 1 / (1 — 90 / 360 * 0,25). Якщо продавець у цей же день урахує цей вексель у банку (на обговорених умовах), то одержить на руки рівно 500 тис. грн. (533,333 * (1 — 90 / 360 * 0,25)). Таким чином, нарахування антисипативних відсотків використовується для визначення нарощеної суми, що потім буде дисконтуватися по тій же самій ставці, по якій вироблялося нарахування. Таке чисто технічне використання нарощення по дисконтній ставці є переважним у практичних розрахунках.
Поряд з розрахунком майбутньої й сучасної величини коштів часто виникають завдання визначення інших параметрів фінансових операцій: їхньої тривалості й величини процентної або дисконтної ставок. Наприклад, може виникнути питання: скільки часу знадобиться, щоб дана сума при заданому рівні процентної ставки подвоїлася, або при якому рівні дисконтної ставки протягом року вихідна сума зросте в півтора разу? Рішення подібних завдань зводиться до перетворення відповідної формули нарощення (дисконтування) таким чином, щоб обчислити значення невідомого параметра. Наприклад, якщо треба розрахувати тривалість позички по відомим первісній і майбутній сумах, а також рівню простої процентної ставки, то перетворюючи формулу нарахування простих декурсивних відсотків (S = P * (1 + nі)), одержимо формулу (5). По такій же формулі буде визначатися строк до погашення зобов'язання при математичному дисконтуванні.
Визначення строку фінансової операції для антисипативного нарахування відсотків і банківського обліку виробляється по формулі (6) Наприклад, потрібно визначити через який період часу відбудеться подвоєння суми боргу при нарахуванні на неї 20% річних простих а) при декурсивном методі нарахування відсотків; б) при використанні антисипативного методу. Тимчасова база в обох випадках приймається рівної 365 днів (точні відсотки). Застосувавши формули (5) і (6), одержимо:
а) t = (2 — 1) / 0,2 * 365 = 1825 днів (5 років);
б) t = (1 — 1/2 ) / 0,2 * 365 = 912,5 днів (2,5 роки)
Цієї ж формули можна застосувати для визначення строку до погашення зобов'язань при дисконтуванні. Наприклад, за векселем номіналом 700 тис. грн. банк виплатив 520 тис. грн., зробивши його облік по простій ставці 32% річних. Чому дорівнює строк до погашення векселя? Застосувавши формулу (6), одержимо:
t = (1 — 520 / 700) / 0,32 * 360 = 289 днів
Товар, вартістю 1,5 млн. грн. оплачується на умовах комерційного кредиту, наданого під 15% річних (проста процентна ставка, тимчасова база 360 днів). Сума оплати після закінчення строку кредиту склала 1 млн. 650 тис. грн.. Чому дорівнює строк наданого кредиту? З формули (5) треба:
t = (1,65/1 ,5 — 1) / 0,15 * 360 = 240 днів
Ще одним найважливішим параметром будь-якої фінансової операції є процентна (облікова) ставка. Крім технічної функції, виконуваної цим показником у ході розрахунків, він використається для оцінки прибутковості — одного з фундаментальних понять фінансового менеджменту. Часто можна почути (або прочитати) вираження, подібні наступної: "на цій угоді я заробив 50%" або "менеджери нашого фонду забезпечать річну прибутковість по Ваших внесках не нижче 100% " і т.п. Варто відразу обмовитися, що самі по собі ці вираження цілком коректні, однак обсяг корисної інформації, що втримується в них, значно менше, ніж може здатися на перший погляд. Зі змісту попередньої глави можна зробити висновок, що будь-яке згадування про процентні ставки вимагає масу застережень і уточнень. Спробуємо зрозуміти зміст першого вираження. По-перше слід уточнити, до якого проміжку часу ставиться отриманий доход — місяцю, року або тривалості самої угоди. В останньому випадку необхідно знати, чому дорівнює ця тривалість. Тому що нічого не відомо ні про суму ні про тривалість угоди, те її результат "50% доходу" неможливо зрівняти із прибутковістю якоїсь іншої операції, щоб зробити висновок про рівень її ефективності. Якщо у відповідь на це вираження хто-небудь заявить: "А я маю 25% річних по своєму банківському депозиті", то визначити, що же із цих двох інвесторів виявився більше щасливим, буде практично неможливо[7, c. 106-109].
Зіштовхуючись зі згадуванням про процентні ставки, фінансист повинен з'ясувати про які відсотки — простих або складних, дискретних або безперервних, — мова йде. Далі необхідно точно визначитися з тимчасовою базою — чи розраховуються річні відсотки або якісь ще, якщо відсотки річні, то виникає питання, яким образом визначається тривалість операції й тривалість року. У випадку нарахування складних відсотків повинне бути обговорене кількість нарахувань відсотків протягом року.
У результаті може виявитися, що методика визначення прибутковості, використовувана одним з контрагентів, не збігається з тієї, що "прийнято на озброєння" іншою стороною. Однак у цьому вужу не буде ніякої трагедії, тому що, знаючи особливості обох цих методик, фінансисти досить швидко приведуть результати своїх розрахунків у порівнянний вид. Тобто , вчасно задаючи необхідні питання, фінансист тим самим запобігає можливим неприємним наслідкам використання неузгоджених термінів. Навряд чи в доступному для огляду майбутньому вдасться змусити всіх розраховувати прибутковість по якій-небудь єдиній методиці, тому завдання фінансиста полягає не в тім, щоб змусити свого контрагента застосовувати єдиний "правильний" спосіб, а в тім, щоб якомога швидше розібратися самому, що саме розуміє під терміном "прибутковість" його співрозмовник, і після цього вирішити, яким образом можна уніфікувати розрахунки. Питання визначення прибутковості заслуговують окремої розмови, тому тут будуть розглянуті найбільш загальні моменти розрахунку рівня процентних ставок в окремих фінансових операціях і знаходження еквівалентних їм значень[13, c. 216-218].
Розділ 3. Розвиток та вдосконалення роботи з фінансовими обчисленнями
Основи комерційної арифметики зародилися в Європі ще в середні століття, і методи вищих фінансових обчислень були відомі вже до початку ХХ в.1, але після революції в Росії фахівці з фінансовим утворенням не були широко затребувані й дана галузь виродилася в предмет "Господарські обчислення", пізніше перетворений на новій технічній основі в родинний напрямок "Автоматизовані системи обробки економічної інформації". Геометрична прогресія на уроках математики викладалася, але не інтерпретувався як закон росту вартості внеску по формулі складних відсотків. Тому тепер, при відродженні в нашій країні практики ринкових відносин, фінансова математика як фундаментальна навчальна дисципліна користується попитом і в середній школі, і на програмі підвищення кваліфікації, і при підготовці фахівця з вищим економічним утворенням.
Відмовляючись сьогодні від обміну своїх грошей на корисні товари й послуги, люди намагаються зберегти їх, сподіваючись на нагромадження в майбутньому сум, що підвищують рівень добробуту. Такі дії пов'язані з ризиком, що не завжди можна оцінити, тобто інвестиційні рішення звичайно приймаються в умовах невизначеності прагматичний кредитор або вкладник буде зацікавлений тільки досить надійним для нього пропозицією збільшити вихідну грошову суму, причому так, щоб приріст її компенсував обмеження споживання сьогодні, втрату купівельної спроможності у зв'язку з інфляцією, і можливість невиконання зобов'язань. Час не повертається, але вкладений у справу капітал може згодом повернутися до інвестора з відсотком. Кредитор стягує плату за використання коштів з позичальника, що має намір витратити їх саме зараз, тому що воліє задовольняти свої потреби раніше, ніж нагромадить досить власних засобів.
У двадцятому сторіччі в країнах, що розвивалися по капіталістичному шляху, виникли нові методи обґрунтування й прийняття фінансово-економічних рішень, змінилася господарська практика й розширилося різноманіття договірних відносин. Виклад економіко-математичної теорії господарського ринку займає не одного тім академічного видання.
Володіння технікою обчислень на обчислювальній техніці — уже не данина моді на комп'ютерну грамотність, а невід'ємний елемент професійної придатності економіста будь-якої спеціалізації. Усього двадцять років тому "не існувало простого способу маніпулювати цифрами на екрані комп'ютера, але в 1979 році все змінилося завдяки двом випускникам Массачусетського технологічного інституту. Ден Бріклін і Боб Френкстон створили VіsіCalc, першу електронну таблицю.
Робота в режимі електронних таблиць повертає обчислювальній машині роль великого калькулятора, одноклітинна панель якого замінена вікном у величезну "пустографу", готову прийняти уведення констант і розрахункових формул. Вихідні даних і знайдені по формулах відповіді на екрані в таблиці "розкладені по поличках" і зберігаються спільно на одному робочому аркуші в окремих клітках, що візуально імітує осередки оперативної пам'яті комп'ютера. Наявність унікальної адреси перетворює кожну клітку в аналог змінної в мовах програмування, причому тип даних, що зберігаються в ній, заздалегідь не визначений, а розпізнається таблицею при уведенні по складу інформації.
Зміна вмісту табличної клітки миттєво впливає на значення залежних від її формул — перерахунок відповідей і проміжних результатів відбувається автоматично, так що, побудувавши собі модель обчислень, можна прямою підстановкою на старе місце нових вихідних значень параметрів, що відбивають додаткові припущення, легко відслідковувати їхній наслідку. Формули кодуються константами, адресами операндів, знаками дій, круглими дужками й убудованими функціями. Для розмноження повторюваних формул успішно застосовуються копіювання одним рухом руки користувача (з мишею) у потрібному напрямку.
Саме про таку простоту у використанні комп'ютера для автоматизації рутинних обчислень і мріяв програміст Ден Бріклін, коли починав роботу над створенням "текстового процесора для чисел", щоб ту саму фінансове завдання можна було перераховувати з новим допущенням — наприклад, 12 відсотків замість 10. У той час він надійшов у Гарвардську школу бізнесу, і, роблячи помилки у своїх вечірніх обчисленнях домашніх завдань на калькуляторі, придумав новий користувальницький екранний інтерфейс у вигляді таблиці й програмний продукт, що підтримує цей режим розрахункового діалогу. Пізніше за ними закріпилася англо-американська назва spreadsheets, на російську мову передане термінами "електронні таблиці" або "табличний процесор". Самим популярним і сучасним табличним процесором тепер є Excel, що входить в основний склад широко поширився Mіcrosoft Offіce для Wіndows, на роботу з яким і орієнтований виклад матеріалу в посібнику. Потрібно помітити, що принципи спілкування користувача з електронними таблицями так універсальні, що стали фактично стандартом інформаційної технології автоматизації обчислень непрофесійним користувачем ПЭВМ.
Темп прогресивних перетворень в області розвитку технічних засобів автоматизації розрахунків частенько обганяє швидкість перепідготовки кадрів. Яскравим прикладом тому є безвідповідальна русифікація фахівцями в області інформаційних технологій групи убудованих фінансових функцій пакета Excel у версіях нижче Excel 2000. В оригіналі їхньої назви точно відповідають англійським абревіатурам фінансових термінів, що давно зробилися міжнародним стандартом. А от назва фінансової функції або текст довідки по ній на "російській" мові" непідготовленому читачеві зрозуміти відразу буває нелегко. Справа в тому, що недавно, що пробудився інтерес, до літератури по фінансовій проблематиці задовольнявся в першу чергу закордонними джерелами й потоком скоростиглих перекладних видань, що привело до витиснення забутої вітчизняної термінології фінансовим новомовом. Викладачі столичних університетів ще не закрили дискусію про те, як правильно перекласти з англійської мови на російську словосполучення "present value" — дійсна, сучасна, сьогоднішня, теперішня, поточна, наведена, дисконтована величина (значення, цінність, вартість, доход)[1, c. 243-247].
Висновки
У роботі даються теоретичні обґрунтування й рекомендації із практичного застосування методів фінансово-економічного аналізу при здійсненні кредитного, інвестиційних і ряду інших комерційних операцій.
Із вступом нашої держави на шлях ринкових перетворень надзвичайно велике значення має формування та використання фінансових ресурсів. Управління фінансами вимагає від фінансового менеджера глибоких знань особливостей ринку, досвіду ведення фінансових розрахунків, інтуїції щодо прийняття рішень. Такі риси формуються в процесі оволодіння теоретичними основами фінансового аналізу та практичної діяльності.
У фінансовому аналізі фінансові відносини між суб'єктами господарської діяльності за допомогою математичних засобів подаються у вигляді певних математичних моделей процесу управління, що дає можливість аналізувати і порівнювати альтернативні варіанти, а в кінцевому результаті приймати найоптимальніше фінансове рішення. За допомогою прийомів і методів фінансового аналізу можна звести до мінімуму ризик при здійсненні конкретної фінансової операції і водночас досить точно вирахувати майбутні доходи.
Для фінансового менеджера дуже важливо чітко усвідомлювати тимчасову вартість грошей, тобто вартість грошей у будь-який заданий момент часу та її вплив на фінансову діяльність фірми. Тому аналіз тимчасової вартості грошей і потоків платежів — найважливіша фінансова проблема.
Фундамент фінансового аналізу становлять такі поняття: прості і складні проценти, дисконт і дисконтування, нарощена і теперішня вартість грошей, еквівалентні ставки і платежі, ануїтети, фінансові ренти та їх використання у фінансово-економічних розрахунках.
Основними категоріями фінансового аналізу є проценти і процентна ставка.
У роботі були розглянуті не лише способи нарахування та використання процентів, а й вигоди і втрати з позицій кредитора та боржника, які вони отримують у кожній конкретній фінансовій операції.
Процентна ставка виконує дві важливі функції:
— з одного боку, процентна ставка — це ціна на гроші (норма позикового, депозитного процента);
— з іншого боку, процентна ставка — це міра, показник ефективності фінансової операції.
Поряд з визначенням таких видів ставок, як облікова, номінальна, ефективна, дисконтна, читач знайде й особливості їх застосування у фінансовій практиці. Кожен спосіб чи нове поняття ілюструється на прикладі.